方法 52

倒序相加法

倒序相加法是数列求和的一种经典方法，其形式如下： 记数列 {aₙ} 的前 n 项和为 Sₙ，则有： Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ， Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + aₙ₋₂ + … + a₁， 若有 a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = a₃ + aₙ₋₂ = … = aₙ + a₁，则 Sₙ = n2 · (a₁ + aₙ)。推导等差数列的前 n 项公式就用了这种方法。其实是遇到倒序相加得到一个相同的和，将复杂的求和问题转化为非常数的求和问题（即求项数的乘法）。一般，第 k 项与第 n-k+1 项的和，与两端等距离的两项之和具有相等的数值，都可以用这种方法求和，是倒序相加思想的进阶。