方法 48

等高线

若 OA 与 OB 是平面内的任意两个不共线向量，平面内的向量 OP = x OA + y OB，其中实数 x, y 满足 x + y = t（t 为定值），则动点 P 的轨迹为与直线 AB 平行的直线 l，其中 |t| 为相似比，我们称直线 l 为等高线。当等高线恰为直线 AB 时，t = 1；当等高线在点 O 和直线 AB 之间时，0 < t < 1；当直线 AB 在点 O 和等高线之间时，t > 1；当点 O 在直线 AB 和等高线之间时，t < 0；|t| 与等高线到点 O 的距离成正比。在平面向量基本定理 OP = x OA + y OB 的表达式中，研究两系数的线性表达式 λx + μy 的最值时，可用等高线的相关结论来解决。