方法 40

和差代换

对于任意实数 x, y，均有 x = x+y2 + x-y2，y = x+y2 - x-y2，若令 a = x+y2，b = x-y2，则有 x = a+b，y = a-b，这种代换称作和差代换，它描述了解析几何中坐标旋转的一种形式。比如等轴双曲线 xy = 1，令 x = a+b，y = a-b，则可以转化为标准形式的等轴双曲线 a² - b² = 1。实际上，和差代换起到了把坐标轴逆时针旋转45°的作用。一般地，当已知条件或所求中出现”和平衡形式”k(xⁿ ± yⁿ)(n ∈ N*)或”积平衡形式”xⁿyⁿ(n ∈ N)时，则令 x = a+b，y = a-b，经过和、差、积的运算，可达到消元、减元、降次的目的。