方法 32

均值代换

涉及模块：函数、不等式、三角 方法介绍：利用若干变量的平均值重新定义变量，把原变量写成“平均值 + 偏差”的形式，使条件变得对称，目标式更容易套用均值不等式或平方和结构。典型用法： 若变量和为定值，可令各变量等于平均值加偏差，并让偏差和为 0。在求多元表达式最小值时，均值代换能把不规则条件整理为平方和或对称式。反思：均值代换的本质是消元和对称化，适合处理和为定值、变量地位接近、目标式含平方和或乘积的题。对于两个变量x,y，若已知x+y=2a，则可设x=a+t,y=a-t，其中t为参数，这种代换称为均值代换。均值代换是一种重要的变量代换方法，它可以将两个变量的问题转化为一个变量的问题，从而简化运算。均值代换的基本思想是利用对称性，将问题转化为关于均值和偏差的问题，常常用于处理和为定值的两个变量的问题。当 n ≥ 2 时，aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = 2aₙ - 1 - (2aₙ₋₁ - 1) = 2aₙ - 2aₙ₋₁， 所以 aₙ = 2aₙ₋₁， 即 {aₙ} 是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 所以 aₙ = 2ⁿ⁻¹.